В треугольнике ABC известно, что ∠P = 90°, ∠K=30°. на катете PK отметили точку F такую, что угол PEF=30° . Найдите KF, если PF=6см( с рисунком и объяснением)
Ответы
проведем дополнительно высоту ск. так как трапеция рвнобедренная, очевидно, что отрезок dk = (а-х)/2, где х - искомое основание вс.
из тр-ка скd: cd = dk/cosd = (a-x)/(2cosd).
с другой стороны из пр.тр-ка acd: cd = a*cosd.
приравняв, получим: cos^2 (d) = (a-x)/2a (1)
но по условию:
ab^2 + x^2 = (11/16)a^2, а ав^2 = cd^2 = a^2 *cos^2(d) = a(a-x)/2
подставив получим уравнение:
a(a-x)/2 + x^2 = (11/16)a^2 (2)
домножим на 16 и к квадратному уравнению:
16x^2 - 8ax - 3a^2 = 0 d = 64a^2 + 192 = 64(a^2 +3)
x = (8a + 8кор(a^2 +3))/32 (другой корень - отрицателен)
x = (a + кор(a^2 +3))/4
i ab i² = (2 - (-6))² + (4 - 1)² = 64 + 9 = 73
i ac i² = (2 - (-6))² + (-2 - 1)² = 64 + 9 = 73
i bc i² = (2 - 2)² + (-2 - 4)² = 0 + 36 = 36
i ab i = i ac i , поэтому треугольник авс - равнобедренный и высота, проведенная из вершины а, является также медианой.
если м - середина стороны вс, то м = ((2 + 2)/2; (4 + (-2))/2) = (2; 1) и. следовательно i am i = √ ((2 - (-6))² + (1 - 1)²) = √ 64 = 8.
рассмотрим равнобедренный треугоьник авс с основанием ас.вh - высота. треугольник авh - прямоугольный, аh равняется половине ас, т.е. 12/2 = 6см., по теореме пифагора найдем боковую сторону ав2 = 8 в квадрате + 6 в квадрате = 100, тогда ав = 10см. s = 1/2 аc*вh = 1/2 *12*8 = 48 кв.см.
ответ: ав = вс = 10см, s = 48 кв.см.
расстояние от вершины к до плоскости альфа равно 5 см--пусть это отрезок кд
тогда получим прямоуг . треуг. кдр --посчитаем там квадрат стороны др
др^2=kp^2-кд^2=9^2-5^2=56
теперь прямоуг. треуг. мдр дм искомая проекция гипотенузы км
дм =√ др^2 + мр^2=√56+12^2 =√56+144=10√2