Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 39 см. известно, что один катет больше другого на 21 см. найдите периметр этого треугольника.
Ответы
пусть х см - длина меньшего катета, тогда длина другого катета (х+21) см. по теореме пифагора x^2+(x+21)^2=39^2. решим уравнение:
x^2+(x+21)^2=39^2
x^2+x^2+42x+441-1521=0
2x^2+42x-1080=0
x^2+21-540=0
по теореме виета:
х1=15 х2=-36 (не подходит, так как длина не может быть отрицательной величиной)
х+21=36
периметр треугольника: р=15+36+39=90 (см)
ответ: периметр этого треугольника 90 сантиметров.
согласно теореме пифагора, второй катет
ac = √ (ab² - bc²) = √ (25² - 15²) = √ 400 = 20 см.
тогда площадь треугольника
s = ac * bc / 2 = 20 * 15 / 2 = 150 см².
радиус вписанной окружности
r = 2 * s / (a + b + c) = 2 * 150 / (15 + 20 + 25) = 300 / 60 = 5 см.
радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, то есть в данном случае r = ab / 2 = 25 / 2 = 12,5 см.
пусть точка е - середина стороны ас. тогда по теореме пифагора
ве = √ (вс² + се²) = √ (вс² + (ас/2)²) = √ (15² + 10²) = √ 325 ≈ 18,03 см.
расположим сферу так, чтобы плоскость треугольника была горизонтальной. тогда вид сверху даёт нам окружность в которую вписан треугольник авс. примем ав=2, вс=4 корня из2, ас=6. обратим внимание, что ас квадрат=ав квадрат+ вс квадрат. или 36=4+32. отсюда -треугольник авс прямоугольный. угол в прямой(против большей стороны). центр описанной окружности в прямоугольном треугольнике лежит на середине гипотенузы.обозначим эту точку о1. ао1=со1=3. это значит, чтоо1 -центр круга полученного сечением сферы плоскостью в которой лежит треугольник авс. тогда расстояние от центра сферы до плоскости треугольника авс будет равно о1о. где о центр сферы. рассмотрим вид сбоку. в проекции получаем окружность радиусом равным радиусу сферы r. проекция плоскости треугольника авс-хорда ас. проведём радиусы оа и ос. проведём перпендикуляр оо1=4(по условию). к ас. тогда по теореме пифагора r=корень из(о1с квадрат+ оо1квадрат)=корень из (9+16)=5.