2. даны координаты вершин четырехугольника abcd: а (–6; 1), в (0; 5), с (6; –4), d (0; –8). докажите, что abcd – прямоугольник, и найдите координаты точки пересечения его диагоналей.

1) по формуле "расстояние между 2-мя точками" найдем длины сторон ав и сд:

iавi=sqrt((0+6)^2+(5-1)^2)=sqrt(36+16)=sqrt(52)=2*sqrt(13);

icdi=sqrt((6-0)^2+(-4+8)^2)=sqrt(36+16)=sqrt(52)=2*sqrt(13);

2) аналогично: ibci=sqrt((0-6)^2+(5+4)^2)=sqrt(36+81)=sqrt(117)=3*sqrt(13);

                                            iadi=-0)^2+(1+8)^2)=sqrt(36+81)=sqrt(117)=3*sqrt(13);

3) так как противоположные стороны 4-хугольника равны, то это параллелограмм.

4) iaci=sqrt((6+6)^2+(-4-1)^2)=sqrt(144+25)=sqrt(169)=13;

      ibdi=sqrt((0-0)^2+(5+8)^2)=sqrt(169)=13;

5) параллелограмм с равными диагоналями - параллелограмм;

6) пусть точка пересечения диагоналей - точка о(х; у) - середина диагонали ас. по формулам координат середины отрезка о((6-6)/2; (-4+1)/2), т.е. о(0; -1,5).

точка удалена от вершин, значит проектируется в центр описанной окружности, пусть данная точка s, а центр окружности о.ао радиус опис. окружности. треуг. aso прямоугольный.as=65. найдем ао=произведение сторон треуг. разделить на четыре площади данного треуг.высота треуг.=32( по т. пифагора), площадь треуг.=32*24, тогда ао=40*40*48/(4*32*24)=25

по т.пифагора найдем so, so^2=65^2-25^2=3600, so=60

аа1 и сс1 медианы

f  на ав,  е на вс

а1с1=ас/2 

ао/оа1=ас/а1с1=15/7,5=2

ао=2оа1 следует аа1=3оа1

δаа1с подобен δоа1е

аа1/оа1=ас/ое=3оа1/оа1=3

ое=ас/3=5

fе=ое*2=10