Точка о является центром правильного двенадцатиугольника площадь треугольника а1оа9 равна 2корня из 3. найдите площадь треугольника а1а6а7.

треугольник а1оа9 - равнобедренный с углом при вершине 120о , поэтому при радиусе окружности r  его площадь равна

r^2 * sin 120o / 2 = r^2 * корень(3) / 4

в данном случае она составляет  2 * корень(3), поэтому 

r^2 / 4 = 2 ,  откуда  r = корень(8)

в треугольнике а1а6а7 сторона а1а7 - диаметр окружности, угол при вершине 15о (вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу). сторону а1а6 находим по теореме косинусов из равнобедренного треугольника, у которого боковая сторона - радиус, а угол при вершине 150о.

а1а6^2 = r^2 + r^2 - 2 * r * r * cos 150o = 2 * r^2 - 2 * r^2 * (-корень(3)/2) = 

r^2 * (2 + корень(3)) = 8 * (2 + корень(3))

итак, а1а6 = корень(8 * (2 + корень(

                  а1а7 = 2 * корень(8)

sin 15o = корень ((1 - cos30o)/2) = корень ((1 - корень(3)/2)/2)=

корень(2-корень(3))/2

таким образом, искомая площадь

s = a1а6 * а1а7 * sin 15o / 2 = корень(8 * (2 + корень ( * 2 * корень(8) * корень (2 - корень(3)) /2 /2 = 8 * 2 / 4 = 4

высота, опущенная на основание, находится по теореме пифагора:

h^2 = 10^2  -  (16/2)^2 = 36,    h = 6

площадь равна:

s = 16*6/2 = 48 cm^2

найдем полупериметр:

р = (16+10+10)/2 = 18 см.

воспользуемся формулами площади через радиусы вписанной и описанной окружности:

s = pr,    r = s/p = 48/18 = 8/3 cm

s = abc/(4r),    r = abc/(4s) = 16*10*10/(4*48) = 25/3 cm

центры окружностей находятся на высоте, опущенной на гипотенузу.

центр описанной окружности находится от основания высоты на расстоянии:

кор(r^2 - 8^2) = кор( 625/9  - 64) = кор(49/9) = 7/3.

центр вписанной окружности находится на расстоянии r= 8/3 см от основания высоты.

тогда расстояние между центрами: 8/3 - 7/3 = 1/3.

ответ: r= 8/3 см; r = 25/3 см; 1/3 см.