.(Площадь полной поверхности данного правильного тетраэдра равна 80см кв. найдите площадь полной поверхности правильного тетраэдра, ребро которого в 4 раза меньше ребра данного тетраэдра.).

стороны правильного тетраэдра- правильные трегольники.

площадь правильного треугольника s(треуг)=(a^2*sqrt{3}) /4.

площадь поверхности правильного тетраэдра

s=4*(a^2*sqrt{3}) /4 = a^2*sqrt{3}.

  a^2*sqrt{3}) = 80

a^2=80/sqrt{3}

a=sqrt{80/sqrt{3}} (см)

ребро  второго тетраэдра а1=а/4

площадь полной поверхности второго тетраэдра равна

s1=(a/4)^2sqrt{3}=(a^2/16)sqrt{3}=(sqrt{80/sqrt{3}})^2 /16 *sqrt{3}=

  =80sqrt{3}/(16sqrt{3})=5 (см2)

у ромба и треуг. общая вершина d, следовательно, стороны треуг. dc и de лежат на лучах dn и dm соответственно. через четвертую вершину f ромба проведем прямую, которая пересечет указанные лучи в точках с и е соответственно. у ромба стороны равны и параллельны, следовательно, мы получилм два подобные треуг. ecd и efm, у них стороны прапорциональны. обозначим сторону ромба через х. md=x, тогда ем=3х/2, так как 12/8=3/2. de=dm+me=х+3х/2=5х/2. cd=55-ce-ed=55-(12+8)-5х/2=35-5х/2.

на основании указанного выше подобия треуг. составим прапорцию.

ec/ef=cd/fm/

20/12=(35-5х/2)х

20х=12*(35-5х/2)

20x=420-30x

50x=420

x=8,4(см),  dm=(см)

em=8,4*3/2=8,4*1,5=12,6(см)

ed=8,4+12,6=21(см)

cd=55-20-21=9(см)

т.к.  bd-высота, то она перпендикулярна ас. тогда треугольник bde прямоугольный треугольник, в котором ве - гипотенуза, т.к. лежит напротив прямого угла bde. а в прямоугольном треугольнике гипотенуза длинее других сторон, т.к. лежит напротив большего угла => bd < be.