Решить в целых числах уравнение 1! +2! +3! +4! ++х! =у^2

я буду рассуждать следующим образом:

1. корни, которые видно сразу:

x=0, y=1 (т.к. 0! =1 по определению факториала)

x=0, y=-1

x=1, y=1

x=1, y=-1

факториала из отрицательного числа не существует, следовательно, все x > =0.

2. других корней нет, так как и левая, и правая части возрастают

рассмотрим f(x)=x! и g(x)=y^2

g(x) - это парабола, наклоненная на 90 градусов, т.е. ветви направлены вправо.

f(x)=x! ~x^x*ln(x) по ф-ле стирлинга, т.е. возрастает быстрее любой степенной функции, т.е. заведомо быстрее чем y^2. это можно доказать, рассмотрев производные этих функций, либо просто на графике показать. следовательно, точек пересечения графики этих функций кроме вышеназванных не имеют.

функция же f1(x)=1! +2! ++x! возрастает ещё быстрее, чем x! , следовательно, других корней у этого уравнения нет. 

(-4-m)+(m+6)=-4-m+m+6=2